كم عدد المربعات والمستطيلات المرسومة في مربع أو مستطيل مقسم إلى مربعات صغيرة؟

الملخص

هدف البحث لحل المسألة: كم عدد المربعات والمستطيلات المرسومة في مربع مقسم إلى n×n من المربعات الصغيرة أو المرسومة في مستطيل مقسم إلى m×n (m<n) من المربعات الصغيرة؟ واستخدم الباحث الاستقراء لإيجاد العلاقات العامة لحل أسئلة البحث، كما استخدم الاستقراء الرياضي لبرهنة صحة النتائج. وتوصل الباحث إلى النتائج التالية:

1ـ عدد المربعات المرسومة في مربع مقسم إلى n×n من المربعات الصغيرة تساوي

n(n+1)(2n+1)/6

2ـ عدد المستطيلات (المربع مستطيل) المرسومة في مربع مقسم إلى n×n من المربعات الصغيرة تساوي

n^2(n+1)^2/4

3ـ عدد المستطيلات (طولها يختلف عن عرضها) المرسومة في مربع مقسم إلى n×n من المربعات الصغيرة تساوي

n(n^2-1)(3n+2)/12

4ـ عدد المربعات المرسومة في مستطيل مقسم إلى m×n (m<n) من المربعات الصغيرة يساوي

m(m+1)(3n-m+1)/6

5ـ عدد المستطيلات (المربع مستطيل) المرسومة في مستطيل مقسم إلى m×n (m<n) من المربعات الصغيرة يساوي

nm(n+1)(m+1)/4

6ـ عدد المستطيلات (طولها يختلف عن عرضها) المرسومة في مستطيل مقسم إلى m×n (m<n) من المربعات الصغيرة يساوي

m(m+1){3n(n-1)+2(m-1)}/12